Assume Nothing（四）

有讀者批評說，在‘Assume Nothing（二）’中提到的命題，我並沒有提供證明。

對，是沒有的。在這裏，我一直都避免使用正統的數學和符號邏輯。因用數學語言寫出來，大部份讀者都會看不明白。但若用非數學語言，又是‘手指非月’。

我再想了想，是次的命題，可嘗試用半數學半常理的方法來證明。但由於用了常理，便必然不精確，必需緊記，這是‘手指’，而非‘月亮’。

直觀上，0與1間當然沒有整數，但就是沒有axiom這麼說，所以不能接受為證明。這就有點類似，大部份中國人，都已判定‘賴昌星’為罪犯。但若我們按法律的定義，他現在就祗是嫌疑犯而已。

好，要證明這個命題，我們尚需一些工具，這些我們會稱為原理（principle），要被數學接納為原理，就一點也不簡單，有機會再另文討論罷！是次，我們要用的原理便稱為Well-ordering Principle。對數學外行來說，這些principles很多時都似‘啊媽是女人’。實在也是‘assume nothing’的另一種表現。

Well-ordering Principle是這樣的，在一個非空的正整數集內，必然會有最小的元素。無聊，那麼算了罷！不學邏輯，仍然是可以活得開心快樂的。

好，證明便類以如下，假設（這個假設是用來破的）0與1之間存在著整數，由於這些整數大於0，所以是正數。它們便可組成一個集。按well-ordering principle，這個集便必然存在一個最小的元素。我們把它叫做m。那麼，0 < m < 1，若我們把這不等式乘以m，那麼便會得到 0 < m² < m。由於m是整數，m²也是整數，這便是說，還存在著一個比m小的正整數，但m已被設定為最小，這便是一個矛盾。特別留意，除了‘非空集’外，我們便完全符合well-ordering principle的所有要求。於是，我們便可以證明，這是個空集。即0與1間並不存在著整數！

我終把它寫出來了，若你看不明白，又或覺得無意義，天還未有塌下來。祗是當你下次要說合不合邏輯時，可能留一點轉圜的餘地，會合適一些。