圖像壓縮與三角學（一）

有朋友向我反映，有關圖像壓縮的兩篇文章有問題。我說是把變化得快的部份去除，所以，他認為過度壓縮的圖像應變得平滑，而不是出現artifact。既然是去除變化快的成份，那裏會產生本身就是變化的水波紋！

非常好，這是思考和討論問題的基本態度。問題的簡單答案就是，這種對去除變化快的部份的理解過於簡單，或可直接說是錯誤的理解。但如何解釋錯在那裏就有些難度，我想了想，還是從基本說起罷。

我還是從三角學（trigonometry）說起。基本上，三角的最具體了解便是對直角三角形的研究。小時候，我對測量人員可以從角度計算出長度感到非常驚奇。中二那年書單內的‘四位數表’便令我如獲至寶。原來，數學家把在每個角度，各邊的邊長的比例總結了在數表內。 這便是我對三角學的具體理解。但數學的精妙，永遠在抽象而不在具體上。我剛才說過，三角是對直角三角形的研究，既然有一個直角，而三角形內角總和等如180度，那麼餘下的兩角都不能超過90度。可是數學家就在三角的具體基礎上，把三角推廣到超過90度。不單是超過90度，還是任何角度，包括超過360度和負角度。

細節問題不好說了，但這一推廣，便令三角超越本來具體的應用，而變成一項萬分重要的數學工具。重要在那裏，可以想像，360度代表甚麼？一個圓形便是360度，這即返回原位！361度又代表甚麼？從向量的觀點考慮（註一），361度與1度無異。這即是說，若在1度開始，轉了一圈而返回原來1度的位置，這便是361度。
這就是說，三角函數是週期函數（periodic function），所以，我們便以三角函數作為研究重覆性的工具。

以前當電視台還未24小時廣播的時候，在沒節目時，電視台可能會播音樂，但有時會播所謂‘測影板’以方便測試電視機的接收性能。而聲音方面便會是1k Hz的方波或正弦波（sine wave）。為甚麼會是方波，以後有機會再作解釋，至於正絃波的原因，便是在電子學上，視正弦波為最基本的。

視正弦波為‘基本’是建基於一個波動理論內的重要數學概念Fourier Analysis。下次繼續討論。
未完，待續！

註一：向量（vector）是非常重要的數學工具，簡單來說，一般人可理解的量是毛量（scalar），祗有大小（magnitude）。向量除大小外，還有方向（direction），例如，速度在中文的語義比較含混，物理學上會分為velocity（向量）和speed（毛量），所以當我們說velocity時，除了說每秒10米外，還要說是每秒向東10米。數學便為我們提供了一套將向量加減和乘（有兩種dot product和cross product）的方法！

再補充一下，常人對方向的理解是二維的，但方向其實是可以應用在任何維數上。例如，航空管理系統，便會應用四維空間（即長闊高和時間）。更加神奇的是這個方向又可用在一些抽像概念上，例如，作經濟分析時，便可以把經濟的某些屬性看成是向量，但維數可能不少於一百！