乘數表

前幾個月，我接到一個‘order’，但沒錢收的，因下單人是老婆大人。

沒關係，難度屬低級，工時約一小時，大部份時間用在‘砌Screen’。這是甚麼，是個訓練人‘背’乘數表的程式，就是拿兩個單位數出來，使用者便要輸入它們的積。當然，還有些特別要求，例如記錄成積和多出某個數字等等。

現代教育似乎有‘背書恐懼症’，但很多東西都是唔背唔得，乘數表和古文就是好例子。

電腦祗是包裝，乘數表除了‘背’或‘不停重覆’外，我真是想不出其他辦法！

人是很聰明的，0和1可以不背，其實就祗有64項（註一）需要背的。但這64項對很多小朋友來說實在經已非常吃力。其中一個原因就是否定了有些東西是必要‘強記’的事實。乘數表可理解的部份少，‘強記’成份多！

但對電腦來說，100條的乘數規則實在太多，特別是從幾十年前的電子技術水平來說！後來科學家便想出一個辦法，就是二進制。

人類社會最流行的便是十進制，這就是說我們有十個數字（不要算漏零），超過十便進一。對人來說，這是好端端的。但如上文所述，理論上，任何有序運算（non-commutative operation）都要學習一百條法則。

但對數學家來說，‘十’並沒有甚麼特別，其實n進制都是可能的。這裏n是整數，當然負數沒有意義，0和1都沒有意義，所以n最小便是2了。可以想像，n越小，操作便越簡單，所以，電腦科學家便選了n最小的2進制。

若人是用2進制的，小朋友便沒有背乘數表的必要了，請看下表

0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1

這便是2進制的‘乘數表’！你可能會說，根本不是4條法則，總結成一句，就是 1 x 1 = 1其餘都等如 0。全對！

單從法則的角度出發，二進制的加法，還要比乘法複雜，因為 1 + 1 = 10，這便是進位，十進制的乘法經常要進位，但2進制的乘法就絶無進位！

但為甚麼我們不學電腦，改用2進制呢？操作簡單的代價，就是位數的加長，相同的數字，用2進制表達的位數，可多至十進制的3倍多（註二）。例如1000在十進制是四個位，但2進制就是1111101000，即10位。而9999就是10011100001111，即14位。

‘伙記埋單。’（註三）

‘先生，多謝110011001元！’

若你可以用心算計出，這是409元，你就非常厲害。廿年前，我可以用心算轉換16位以內的二進制數字到10進制。但今天，8位都有點吃力了！

註一：若把乘法是commutative （例如8x9 = 9x8，或更準確的ab=ba）考慮在內，實在要記的便是32條法則。

註二：理論上是約3.32倍，但可以理解，1000是4個位，9999也是4個位，小數部份便解釋了其差異。

註三：‘服務員，請結賬。’