數學歸納法（二）

當‘數學歸納法’發佈後，有讀者批評說，這樣取巧的文字遊戲還算是甚麼邏輯。

我有必要說清楚，很多極有用的數學和邏輯法則，都是看起來簡單，但再思考一下，便會明白一點也不平凡。事實上，出色數學定律的其中一個標準正是‘simple but not trivial’。數學歸納法實在非常有用和重要。好，我便試舉一個實例證明。

大家可能都會聽過一個有關大數學家高斯的小故事，這就是在他的小時候，算術老師出了一條題目，要他們將1加2，再加3如此類推地加到100，其目的就是要他們熟習加數。但少年高斯立刻答出5050。他的老師大吃一驚，沒有可能在轉眼間便用心算完成一百次運算，但答案又真是正確！

高斯實在沒有做一百次運算，他祗是觀察到1+100=101，而2+99也等如101，所以問題的答案就是有50組101，所以答案就是101 x 50 = 5050。後來，這便發展成算術序列（arithmetic series）的求和。

例如，要由1加到n，按上高斯的理念總和的公式便是　(1 + n)n/2 （註）。這便是一個演繹過程。

為甚麼會叫數學歸納法呢？其實是這樣的，假若，有某人，他並沒有高斯的演繹能力，但他經過很多次的‘經驗’發現了這公式，又試驗了很多次都正確！但對不起，無論試了多少次，數學都不會接納為理論，就祗可以是‘猜想’（conjecture）而已！

他便可以嘗試使用數學歸納法，若成功，便可接納為理論了。所以，數學歸納法本身是演繹法，祗是用來證明由經驗歸納出來的公式而已。

那麼，數學歸納法如何證明這公式呢？

第一步，證明命題當n=1時正確。

(1+1)x1/2 = 1

明顯，當n=1時，命題正確。

第二步，假設（Assume）命題於n=k時正確，這即是說

1+2+ … +k = (k+1)k/2

小心，這不是說正確，而是說‘假設正確’，請小心思考一下兩者的分別。

那麼，命題於k+1 時會怎樣呢？

我們就在假設命題在n=k正確的基礎上，再演繹下去，我們於方程式的兩端都加上k+1，於是

1+2+ … +k + (k+1) = (k+1)k/2 + (k+1)

留意，左邊就是由1加到(k + 1)，便是當n=k+1時的命題，祗要右邊都可以弄到如命題的‘樣子’，這便是當命題於n=k時正確，命題於n=k+1都正確

明顯地，我們可以把(k+1)抽出來，方程式的右邊便會變成如下

(k+1)(k/2 + 1)

= (k+1)(k+2)/2

這便是當n=k+1時命題的右邊。

總結一下，假設命題於n=k時正確，我們使用演繹的方法，推導出命題於n=k+1時也正確。

按照數學歸納法的原則，命題會對所有自然數都正確！

經過這個演繹的證明，這公式便可為數學所接納。

再強調一次，我們並不是說n=k時命題正確，祗是說假設命題於n=k時正確，那麼，若可推導出當n=k+1時命題也正確，便符合了數學歸納法的第二個條件！

很多時，第一個條件的證明會非常明顯，但這個並非必然，有時，難度就是證不到第一個條件。雖然大部份時間都非常明顯，但就非常‘重要’，數學絶不容納‘多餘’的東西。想想，必要證明到命題在n=1時正確。為甚麼？歸納法的原理就是如這樣，由於若當n=k時，命題正確，命題也會當n=k+1時正確。所以，若證明了命題當n=1時正確，那麼n=1+1即n=2時也正確，因為n=2時命題正確，同理當n=2+1即n=3時命題也正確，把這個邏輯無限重覆使用，便可證明命題對所有自然數都正確。

事實上，忽略了證明n=1時命題正確，可能會出現很多荒謬的結論，而也不是必要n=1 的，其實，n是可以等如任何數，下文再續。

註：‘/’是除號