數學歸納法

我在大學時就是以‘家教’賺取生活費的。我精補數學和物理。但我這個‘家教’從不預測題目，我祗是幫助學生真正明白和欣賞‘數理’。當時，我有幾個文科根基很好的學生，有些甚至有極高的哲學水平，但基於某些原因，他們都要學習高等數學，這個門檻就高得厲害，遇有這些情況，我最喜歡用的例子之一，就是數學歸納法的一些引申！

對我來說，由初級數學進入中級數學，有兩門非常重要的學科，一為微積分，這門處理變化的學問，正正就是經典物理和現代科技的重要基石。其二，就是數學歸納法，這是令人由常識思考，進入抽象嚴謹邏輯思維的入門科目。

‘理性’絶不是一般人的思維模式，例如，所謂‘經驗’就是歸納（induction）。一個常用的思想實驗就是，假設有一個很大很大的袋，內有很多很多的球，我們從袋內每次抽出一球，而檢視其顔色，對一般人來說，當抽出了一百個球，若都是紅色，便很容易會作出全部球都是紅色的結論，但不要說是一百個，就算是一億個都是紅色，這就必然保證下一個是紅色嗎？

科學就正正是基於歸納，也即是說，科學絶不是一般人所想的是‘真理’（truth）。真正科學家的精神，就是要推翻前人的理論。諾貝爾的物理學家，在某程度上，必需就要有點推翻前人理論的建樹。例如，楊振寧和李政道在1957年拿的諾貝爾獎，就正正是他們打破了當時普遍相信的宇稱守恒定律！所以，將科學宣傳成‘真理’，就絶對是對科學的曲解！

數學的本質與科學並不相同，數學從不接納‘歸納’！數學是個演繹（deduction）系統，一切理論都是由邏輯演繹出來。所以，非常諷刺的，就是數學歸納法根本就是演繹法，絶不是歸納法。

舉一個例子，我會經常挑戰學生，會不會數到一萬，很少人會真正由一數到一萬，但作為一個智力正常的人，我們都會相信自己會懂數到一萬。若有人說他真的試過由一數到一萬，沒關係，我便把一萬改成十萬罷，若還不夠，便改到一百萬甚或一千萬罷！

這對這些愛好哲學的學生，這樣的挑戰便很大，他們總有一個模糊的概念，這是可能的，完全沒理由想信，給予足夠的時間，他數不到一萬，但將其‘證明’用言語說出來，又總是被我駁回！

於是，這便是數學歸納法的很好切入點。簡單來說，數學歸納法是這樣的

我們要證明某命題，對自然數（natural number）正確，就祗要保證兩個條件

一．這命題於1正確。
二．這命題若於k正確，命題也在k+1正確

當符合這兩個條件，命題便會對所有自然數都正確。

‘火星文’？是啊，邏輯從來都不是常識，以上的文字，為了易讀，經已不是嚴謹的邏輯語言！

還是來個例子罷！命題就是你懂得數任何自然數。

第一個條件便是要證明你懂得數一，明顯！我沒有任何理由會挑戰你不會數1。

第二個條件的傳繹就是，若你懂得數k，你懂得數k+1嗎？例如，當你懂得數2，你可保證你懂得數3嗎？若你可保證給你任何自然數（k），你都懂得數下一個自然數（k+1），那麼，按數學歸納法的原理，你便懂得數任何自然數。而不論是一萬還是一億，都是自然數，所以你都識數！

‘啊媽係女人？’

邏輯就是要清晰我們每一個思考！但我再一次強調，不懂邏輯也一樣可以活得開心快樂！祗要不要亂說‘邏輯’和‘理性’便沒問題了！