圖像壓縮與三角學（二）

續上文，Fourier有一個奇怪的想法，就是所有週期性函數都可以由正弦波及其諧波所組成。

首先何謂諧波？諧波（harmonics)本來是一個音樂的概念，於兩千多年前，希臘的哲學家已發覺有些音節一同合唱時會有和諧的感覺，這便是諧音。而大哲學家畢達哥拉斯更發現這些諧音間的微妙數學關係。

現代科學對諧波的理解極為簡單，這就是頻率剛好成整數倍數。例如，有一個聲音其頻率為300Hz，那麼600Hz，900Hz，1200Hz等便是它的諧波。

Fourier就是經過嚴謹的數學推導，創出對任何週期性函數找出其正弦及其諧波組成的方法。由於這方法需用比較高深的微積分，所以，我今次不深入討論了。但我們可以通過一些例子，感性地理解這們學問。

以下我便以方波為例，

現在就是要用正弦波用組成這個方波。

主波便是一個和方波相同週期的正弦波。 ’嘩，差咁遠，咁都得！’ ’有點耐性罷！’

紅色的波形代表我們所用的正弦波。我們多加了一個3倍頻率的諧波。為甚麼是3倍，又為甚麼是這樣的大小？這便是由Fourier analysis計算出來。 綠色的波形代表紅色波形的總和。特別留意本主波的最高位超越了方波不少。加了3次諧波後，結果反而是低於方波。

加入5倍諧波，結果更加接近。

再加入7倍諧波後的結果。

再加入9倍諧波的結果。

首10個諧波再加的結果。

首100個諧波相加的結果。

從上例可以觀察到，主波和幾個諧波相加後，便‘相當’似一個方波，但理論上，要完全變成一個方波，便要把無限多的諧波相加！

進行了這樣的分析，又有甚麼好處呢？幾十年前，當數碼技術還未普及時，模擬技術便靠這們學問對電子設計進行各樣的計算和分析。簡單來說，我們祗要詳細了解電子電路對正弦波的各項特性，我們便等如知道它對其他任何週期性訊號的特性！

當我們要使用數碼去處理模擬訊號時，必需將模擬訊號轉換成數碼訊號，這個過程稱為‘取樣’（sampling）。但要取多少點才足夠呢？這個標準其實也是基於Fourier analysis。

其實，Fourier analysis對數碼技術的應用，遠超於此。Fourier analysis是把數學函數，變成一個主正弦波及其諧波的數學方法。由此變化出來的有Fourier Transform。這就是可以把由數碼取了樣的波形，轉換為主正弦波及其諧波。轉換後，我們便可以視它們為一組的正弦波加以分析，傳送或壓縮。

Discrete Cosine Transformation (DCT)正正是由Fourier Transform衍生出來的。所以，在Jpeg壓縮的算法裏，我們實在是把獨立的點看成一個整體（註），然後運用DCT把它們看成是一組正弦波相加而成。理論上是要無限多的‘波’，但我們抛棄了高頻的‘波’。這樣，便會看到重覆性，便可以有效壓縮了！

這樣應可以理解為甚麼會出現水波紋(artifacts)，回顧方波的例子，平來是直線的方波，在有限次的主波諧波相加後，是不是出現了‘波紋’！這便解釋了為甚麼把變化得快的部份去除，反會出現額外的變化！

其實，圖像壓縮給了我們一個重要的哲學啟示，這就是有沒有規律，其實要看我們如何去表達。一般圖像若以RGB表達，實在很難找出規律，但經過一連串轉換後，便可以成功找出規律，最後達成壓縮的任務！

抽象數學，便是研究很多常人看似完全獨立和沒規律的東西，找出規律和相關性。